Views Comments Previous Next Search
Конспект недели:
Как наука помогает
есть пиццу — Интернет на Look At Me

ИнтернетКонспект недели:
Как наука помогает
есть пиццу

И при чём здесь теорема Гаусса

Когда доктор физических наук берётся за то, чтобы разрезать пиццу, в результате может появиться статья на сайте Wired. Это и произошло на прошлой неделе: журналист и физик Атиш Батья нашел десяток применений теоремы Гаусса в повседневной жизни. Как сделать так, чтобы кусок пиццы не вывернулся наружу и не выскользнул из рук? Почему чипсы Pringles не так ломаются, как другие? Можно ли круглую Землю отобразить на плоской карте? Look At Me публикует конспект его наблюдений.

 

Это случалось со всеми. Вы берёте кусок пиццы, и в тот момент, когда вы собираетесь откусить от него, он предательски выскальзывает из пальцев. Но годы тренировок научили вас, что самый удобный способ — свернуть треугольный кусочек так, чтобы широкие концы смотрели друг на друга. В таком случае корочка выдерживает нагрузку и вы спокойно наслаждаетесь пиццей (если у вас нет пиццы под рукой, можете поэкспериментировать с листком бумаги.)

 

При чём здесь теорема Гаусса?

Конспект недели:
Как наука помогает
есть пиццу. Изображение № 2.

В основе этого трюка лежит математическое понятие кривизны регулярной поверхности, открытие, удивившее даже самого ученого Карла Фридриха Гаусса, который и придумал этому явлению название, — Theorema Egregium или Замечательная теорема, в переводе с латыни.

Возьмите листок бумаги и сверните его, чтобы получился цилиндр. Может показаться очевидным, что бумага плоская, а цилиндр изогнут. Но Гаусс считал по-другому. Представьте, что по цилиндру ползет муравей. Какой путь он выберет? Он может поползти по вертикальной прямой линии или по изогнутой поверхности цилиндра. Или это может быть что-то промежуточное: например, по траектории спирали.

Блестящая идея Гаусса заключалась в том, что кривизну поверхности можно измерить независимо от точки отсчета. Вот как это работает. Сначала найдите две самые отличающиеся друг от друга траектории пути, которые муравей может выбрать (назовем их «самый вогнутый путь» и «самый выпуклый путь»). Затем умножьте величины кривизны всех траекторий (у «вогнутых путей» будет положительное значение, у «выпуклых» — отрицательное). Получившееся число и есть гауссова кривизна.

 

Можно ли понять, что Земля круглая, не покидая
ее поверхности?

Конспект недели:
Как наука помогает
есть пиццу. Изображение № 3.

Для муравья на цилиндре два наиболее отличающихся друг от друга пути — это изогнутый путь по цилиндрической поверхности и плоский, прямолинейный путь. Но так как кривизна «плоского» пути равняется нулю, то при умножении двух искривлений друг на друга получается ноль. Как сказали бы математики: у цилиндра нулевое значение гауссовой кривизны. Это объясняет, почему цилиндр можно легко сделать из листа бумаги.

Если вместо цилиндра муравей обоснуется на мяче, то он останется без какой-либо плоской поверхности. Теперь каждый путь имеет одинаковую траекторию и, таким образом, гауссова кривизна примет положительное значение. Поэтому можно согнуть листок бумаги трубочкой, но у вас никогда не получится согнуть его так, чтобы получился шар. 

По сути, даже муравью подвластно совершить простые вычисления и, не сходя с поверхности, определить, плоская она или изогнутая. Точно так же и человек, применив математическую формулу, может определить, что Земля круглая, даже не совершая путешествия в космос. Другое удивительное вытекающее следствие: сгибая поверхность (главное, не рвите и не растягивайте ее), вы не меняете гауссову кривизну.

Вы когда-нибудь пробовали завернуть баскетбольный мяч в подарочную бумагу? Как бы вы не пытались, ваша обёртка, скорее всего, будет выглядеть очень непрезентабельно.

 

Можно ли круглую Землю отобразить на плоской карте?

Конспект недели:
Как наука помогает
есть пиццу. Изображение № 4.

Другое следствие формулы Гаусса — это невозможность точного изображения карты на бумаге. Карта мира, которую вы привыкли видеть, чрезвычайно искажает некоторые области. У дизайнеров одежды та же задача — сделать так, чтобы эскизы, нарисованные на бумаге, стали основой для создания объемных моделей.

 

Какие еще есть проявления
у теоремы Гаусса?

Конспект недели:
Как наука помогает
есть пиццу. Изображение № 5.

Изгиб одной из траекторий добавляет жесткости другой. Как только вы усваиваете теорему Гаусса, вы начинаете замечать ее проявления во всём.

   

Биология

Например, листок. Он часто изогнут, но именно центральная жилка листа (главная кривизна) добавляет жесткости самой структуре.

   

Пищевые продукты

Возьмите в руки яйцо и попробуйте его раздавить сжатием одной руки. Простая на первый взгляд задача окажется почти невыполнимой. И что же делает структуру яйца такой устойчивой? По форме яйцо округленное со всех сторон и не имеет ничего общего с цилиндром. В этом и секрет — яйцо имеет гауссову кривизну, отличную от нуля. Чтобы сломать яйцо, вам нужно лишить его кривизны, то есть сделать отверстие в его поверхности. Тот же принцип работает в случае чипсов Pringles. На самом деле каждый кусок имеет форму гиперболического параболоида. Это форма за счет двойной кривизны поверхности обеспечивает дополнительную жесткость даже материалов, которые не отличаются высокой прочностью.

   

Промышленность

Самый приземлённый пример применения теоремы Гаусса — гофрокартон. Его внутренний слой имеет волнообразную (гофрированную) форму, что обеспечивает устойчивость материала к нагрузкам. Гофрирование листовых металлических материалов опирается на тот же принцип. Сейчас такие материалы, воплощающие функциональность, стали частью нашей жизни. Но когда английский инженер Генри Палмер в 1829 году запатентовал эту технологию, современники восхищались элегантностью и простотой изготавливаемых материалов, а также их экономичностью.

   

Архитектура

Инженеры и архитекторы часто опираются на теорему Гаусса, чтобы обеспечить устойчивость конструкций. Этот прием использовал испанский инженер Эдуардо Торройя, проектируя инновационную бетонную крышу, которая, несмотря на большую площадь, была построена из ультратонкого материала. А ученик Торройи, Феликс Кандела, сделал настоящий прорыв в том, как применял форму гиперболического параболоида в строительстве. Хотя он и использовал бетон, проекты архитектора выглядели очень легкими и изящными.

 

В следующий раз, когда вы возьмете в руки кусок пиццы, оглянитесь вокруг: может быть, проявления теоремы Гаусса будут ждать вас где-то еще.

изображения via lili_mini/FlickrEuropean Space Agency/Flickrfdecomite/Flickr

Рассказать друзьям
0 комментариевпожаловаться

Комментарии

Подписаться
Комментарии загружаются
чтобы можно было оставлять комментарии.